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如何解一元二次方程

沈红叶来自:西藏自治区 纽约州 纽约大学 时间:2020-05-10 18:33:43 坐标: 341474°

精选的如何解一元二次方程

有些一元二次方程用常用的四种基本方法直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法求解都是比较繁杂的,此时如果采用换元法则可以化难为易,以简驭繁。请看:

例1解方程(x-√3-1)(x-√3-2)=2.

解析:按常规解法,一般是先去括号,把方程整理为一般形式,然后再考虑四种基本解法.但这里去括号时需要一定量的计算,再说整理为一般形式后能否顺利应用基本解法尚未知.注意到方程左边的两个因式,它们都含有x-√3,因此,我们可以以x-√3为“元”进行换元,即设x-√3=y,则原方程化为(y-1)(y-2)=2,

整理,得y^2-3y=0,y(y-3)=0,所以y=0或y=3,

y=0时,x-√3=0,x=√3;

y=3时,x-√3=3,x=3+√3,

x1=√3,x2=3+√3.

例2 解方程(x-1)^2+(x-1+√2)^2=2.

解析:设x-1=y,则原方程可化为y^2+(y+√2)^2=2,

去括号,整理,得2y^2+2√2y+2=2,

y^2+√2y=0,

所以y(y+√2)=0,

所以y=0,或y=-√2.

y=0时,x-1=0,x=1;

y=√2时,x-1=√2,x=1+√2.

x1=1,x2=1+√2.

例3解方程(x+2-√3)(4x-2+√3)=3(2-√3)x.

解析:方程中两处出现2-√3,故可设2-√3=y,则原方程化为

(x+y)(4x-y)=3xy

整理,得4x^2-y^2=0,

因式分解,得(2x-y)(2x+y)=0,

所以x1=(2-√3)/2,x2=-(2-√3)/2.

例4解方程36x^2-12x-35=0.

解析:如果直接用四种基本解法虽然可以解,但由于系数大,计算繁,容易出差错.注意到36x^2可化为(6x)^2,12x=2×6x

故可设6x=y,则原方程可化为一个系数简单的方程

y^2-2y-35=0,从而(y-7)(y+5)=0,

所以y=7,或y=-5,故x1=7/6,x2=-5/6.

由上几例可见,所谓换元法事实上是从整体思想出发,运用整体处理的方法将问题分而治之,分步解决的一种解题方法.

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以前上学的时候,教科书里面都不讲一元三次方程的解法。如果没有估计错误,现在的普通中学也不讲吧。虽然之前也看到过所谓卡丹公式,其实内心还是有些忐忑,只是知道用那个解法是可以的。
最近,看了一些文章,有点明白应该如何解决了。
考虑一般的一元三次方程 x^3+ax^2+bx+c=0,首先通过转换,很容易通过 (x + a/3) 转化成 x^3+ax+b=0的形式。
其次,在 a 是 0 的时候,问题很简单,容易得到实数解。
在 a 不是 0 的时候,
方法1: 如果按照卡丹公式的方法,是定义 x=p+q,然后令 p^3+q^3+b=0 且 3pq+a=0,然后求解。
方法2: 这种时候,其实总是可以把方程转化成 4x^3+3x=t 或者 4x^3-3x=t 的形式的。
a) 对于 4x^3-3x=t 的情况,熟悉三角函数的人可以令 x=cos a 得到 cos (3a) = t,所以,如果 t的绝对值不大于 1,问题就可以解出来了。当然,如果个人喜欢,使用 sin (3a) 的公式也是可以的。
b) 对于 4x^3-3x=t 的情况,对于 t 的绝对值大于 1 的时候,取 2x=u+1/u,可以得到 u^3的一个一元二次方程, 2t=u^3+1/u^3,所以也可以解了。
c) 对于 4x^3+3x=t 的情况,貌似没有三角函数可以使用,不过,我们总是可以使用 2x=u-1/u 进行处理,得到2t=u^3-1/u^3,可以解出 u^3 的实数解。
个人觉得,方法一的优点是,简单,就这一条路,缺点是,会碰到复数问题,会显得比较困难一些。方法二的优点是,只是需要三角函数和一元二次方程会求解,就可以懂,缺点是,分类相对多一些。
补充写一个实际的例子:x^3-3x^2-3x-1=0
第一步,通过替换:t=x-1 可以得到 t^3-6t-6=0
第二步,通过替换:t=2 sqrt(2) y,可以得到 4y^3-3y=3 sqrt(2) / 4>1
第三步,采用变换:2y=u+1/u,可以得到方程 u^3+1/u^3=3 sqrt(2) / 2,求解可以得到 u^3=sqrt(2)或者 sqrt(1/2)
第四步,反推 x=1+2^{1/3}+2^{2/3}. r>

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